Как найти?
Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования:
- Вынос константы за знак производной: $$ (Cu)’ = C(u)’ $$
- Производная суммы/разности функций: $$ (u pm v)’ = (u)’ pm (v)’ $$
- Производная произведения двух функций: $$ (u cdot v)’ = u’v + uv’ $$
- Производная дроби: $$ bigg (frac{u}{v} bigg )’ = frac{u’v — uv’}{v^2} $$
- Производная сложной функции: $$ ( f(g(x)) )’ = f'(g(x)) cdot g'(x) $$
Примеры решения
Пример 1 |
Найти производную функции $ y = x^3 — 2x^2 + 7x — 1 $ |
Решение |
Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных: $$ y’ = (x^3 — 2x^2 + 7x — 1)’ = (x^3)’ — (2x^2)’ + (7x)’ — (1)’ = $$ Используя правило производной степенной функции $ (x^p)’ = px^{p-1} $ имеем: $$ y’ = 3x^{3-1} — 2 cdot 2 x^{2-1} + 7 — 0 = 3x^2 — 4x + 7 $$ Так же было учтено, что производная от константы равна нулю. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ y’ = 3x^2 — 4x + 7 $$ |
Пример 2 |
Найти производную функции $ y = sin x — ln 3x $ |
Решение |
По правилу производной разности: $$ y’ = (sin x — ln 3x)’ = (sin x)’ — (ln 3x)’ = $$ По таблице интегрирования находим: $$ (sin x)’ = cos x $$ $$ (ln x)’ = frac{1}{x} $$ С учетом того, что аргумент натурального логарифма отличен от $ x $, то нужно домножить ещё на производную самого аргумента: $$ y’ = (sin x)’ — (ln 3x)’ = cos x — frac{1}{3x} cdot (3x)’ = $$ После упрощения получаем: $$ = cos x — frac{1}{3x} cdot 3 = cos x — frac{1}{x} $$ |
Ответ |
$$ y’ = cos x — frac{1}{x} $$ |
Пример 3 |
Найти производную функции $ y = (3x-1) cdot 5^x $ |
Решение |
В данном примере стоит произведение двух функций, а производная произведения находится по формуле номер 3: $$ (u cdot v)’ = u’v + uv’ $$ $$ y’ = ( (3x-1) cdot 5^x )’ = (3x-1)’ 5^x + (3x-1) (5^x)’ = $$ Производная первой функции вычисляется как разность фунций: $$ (3x-1)’ = (3x)’ — (1)’ = 3(x)’ — (1)’ = 3 $$ Вторая функция является показательной, производная которой находится по формуле: $ (a^x)’ = a^x ln a $: $$ (5^x)’ = 5^x ln 5 $$ Продолжаем решение с учетом найденных производных: $$ y’ = (3x-1)’ 5^x + (3x-1) (5^x)’ = 3 cdot 5^x + (3x-1) 5^x ln 5 $$ |
Ответ |
$$ y’ = 3cdot 5^x + (3x-1) 5^x ln 5 $$ |
Пример 4 |
Найти производную функции $ y = frac{ln x}{sqrt{x}} $ |
Решение |
Производную дроби найдем по четвертой формуле. Положим $ u = ln x $ и $ v = sqrt{x} $. Тогда их производные по таблице основных элементарных функций равны: $$ u’ = (ln x)’ = frac{1}{x} $$ $$ v’ = (sqrt{x})’ = frac{1}{2sqrt{x}} $$ Используя формулу №4 получаем: $$ y’ = bigg ( frac{ln x}{sqrt{x}} bigg )’ = frac{ frac{1}{x} cdot sqrt{x} — ln x cdot frac{1}{2sqrt{x}} }{x} = $$ Выносим множитель $ frac{1}{2sqrt{x}} $ в числителе за скобку: $$ y’ = frac{2-ln x}{2xsqrt{x}} $$ |
Ответ |
$$ y’ = frac{2-ln x}{2xsqrt{x}} $$ |
Пример 5 |
Найти производную функции $ y = ln sin 3x $ |
Решение |
Данная функция является сложной, потому производную будем брать по цепочке. Сначала от внешней функции, затем от внутренней. При этом выполняя их перемножение. $$ y’ = (ln sin 3x )’ = frac{1}{sin 3x} cdot (sin 3x)’ = $$ Заметим, что аргумент синуса отличен от $ x $, поэтому тоже является сложной функцией: $$ = frac{1}{sin 3x} cdot cos 3x cdot (3x)’ = frac{1}{sin 3x} cdot cos 3x cdot 3 $$ Учитывая определение котангенса $ ctg x = frac{cos 3x}{sin 3x} $ перепишем полученную производную в удобном компактном виде: $$ y’ = 3ctg 3x $$ |
Ответ |
$$ y’ = 3ctg 3x $$ |
Источник: xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai
Синтаксис описания формул
В описании функции допускается использование одной переменной (обозначается как x), скобок, числа пи (pi), экспоненты (e), математических операций: + — сложение, — — вычитание, * — умножение, / — деление, ^ — возведение в степень.
Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec— экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), logP — логарифм по основанию P, например log7(x) — логарифм по основанию 7, rootP — корень степени P, например root3(x) — кубический корень.
Вычисление производной
Вычисление производной — дело нехитрое, достаточно знать несколько простых правил и формулы дифференцирования простых функций; сложнее в этом онлайн калькуляторе было сделать интерпретатор математических выражений и алгоритм упрощения полученного результата, но об этом как-нибудь в другой раз…
Правила дифференцирования
1) производная суммы:
2) производная произведения:
3) производная частного:
4) производная сложной функции равна произведению производных:
Источник: planetcalc.ru
Что такое производная функция — это основное математическое понятие, находится на одном уровне с интегралами, при анализе. Данная функция в определенной точке дает характеристику скорости изменений функции в данной точке.
Такие понятия как дифференцирование и интегрирование, первое расшифровывается как действие поиска производной, второе наоборот, восстанавливает функцию отталкиваясь от данной производной.
Вычислениям производной отводится важная часть в дифференциальных расчетах.
Для наглядного примера, изобразим производную на координатной плоскости.
в функции у=f(х) фиксируем точки М в которой (х0; f(X0)) и N f (x0+?x) к каждой абсциссе есть приращение в виде ?x. Приращением называется процесс когда изменяется абсцисса, тогда меняется и ордината. Обозначается как ?у.
Найдем тангенс угла в треугольнике MPN используя для этого точки М и N.
tg? = NP/MP = ?у/?x.
При ?x идущем к 0. Пересекающая МN все ближе к касательной МТ и угол ? будет ?. Следовательно, tg ? максимальное значение для tg ?.
tg ? = lim от ?x-0 tg ? = lim от ?x-0 ?у/?x
Если проговаривать формулировку каждой формулы производных. Таблица будет проще запоминаться.
1) Производная от постоянного значения равняется 0.
2) Х со штрихом равняется единице.
3) Если есть постоянный множитель, просто выносим ео за производную.
4) Чтобы найти производную степень, нужно показатель данной степени умножить на степень с таким же основанием, у которого показатель на 1 меньше.
5) Поиск корня равен одному, деленному 2 этих корня.
6) Производная одного, деленного на Х равняется одному разделенному на Х возведенный в квадрат, со знаком минус.
7) П синус равняется косинусу
8) П косинус равняется синусу со знаком минус.
9) П тангенс равняется одному, деленному на косинус в квадрате.
10) П котангенс равняется одному со знаком минус, деленная на синус в квадрате.
В дифференцировании также существуют правила, которые тоже проще выучить проговаривая их в слух.
1) Очень просто, п. слагаемых равняется их сумме.
2) Производная в умножении равняется умножению первого значения на второе, прибавляя к себе умножение второго значения на первое.
3) Производная в делении равняется умножению первого значения на второе, отнимая от себя умножение второго значения на первое. Дробь деления на второе значение в квадрате.
4) Формулировка является частным случаем третьей формулы.
Источник: reshit.ru
- Квадратное уравнение
- Теорема Виета
- Биквадратные уравнения
- Симметрические, возвратные и однородные уравнения
- Алгебраические уравнения
- Решение квадратного уравнения
- Решение квадратного неравенства
- Квадратичные неравенства
- Метод интервалов для решения рациональных неравенств
- Решение рациональных неравенств методом интервалов
- Метод интервалов для решения дробно-рациональных неравенств
- Модуль уравнения и неравенства
- Равносильные замены неравенств, содержащих переменную величину под знаком модуля
- Уравнения, содержащие выражение с переменной под знаком модуль
- Уравнения с модулем: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
- Решение уравнений, содержащих знак модуля: методы, приемы, равносильные переходы
- Решение неравенств, содержащих знак модуля: методы, приемы, равносильные переходы
- Равносильные неравенства, содержащие переменную величину или выражение под знаком модуля
- Решение неравенств, содержащих выражение под знаком модуль
- Неравенства с модулем: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
- Степень с целым показателем
- Все формулы по теме «Степень»
- Степень с произвольным показателем
- Арифметический корень
- Свойства арифметического корня
- Все формулы по теме «Арифметический квадратный корень»
- Корень n-ной степени
- Все формулы по теме «Радикал» (корень n-ой степени)
- Формулы действий с корнями для четной степени
- Формулы действий с корнями для нечетной степени
- Иррациональные выражения
- Иррациональные уравнения
- Схемы равносильных преобразований выражений, содержащие квадратные корни
- Решение простейших иррациональных неравенств
- Иррациональные уравнения
- Иррациональные уравнения: примеры и достаточные знания свойств, необходимые для решения заданий
- Равносильность иррациональных неравенств: теоретический справочник
- Свойства иррациональных неравенств
- Иррациональные неравенства: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
- Понятие логарифма
- Свойства логарифмов
- Все формулы по теме «Логарифм»
- Логарифм: теоретический справочник
- Показательные и логарифмические неравенства
- Область допустимых значений (ОДЗ)
- Системы и совокупности уравнений
- Общие методы преобразований уравнений
- Неравенства с переменной
- Основные свойства равносильности неравенств
- Системы и совокупности неравенств
- Метод замены множителей
- Метод замены функций для решениия неравенств
- Схемы замен функций в решении неравенств
- Примеры замен функций в решении неравенств
- Решение показательных неравенств
- Решение логарифмических неравенств
- Схемы равносильных преобразований логарифмических неравенств
- Логарифмические неравенства, содержащие переменную в основании, в схемах
- Схема Горнера
- Решение неравенств с кратными корнями методом интервалов
- Показательные и логарифмические неравенства: тереотический справочник
- Показательные неравенства: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
- Логарифмические неравенства: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
- Уравнения и неравенства смешанного типа: теоретический справочник
- Системы линейных уравнений с двумя переменными
- Системы нелинейных уравнений с двумя переменными: теоретический справочник
- Образцы решения заданий по теме "Системы линейных уравнений"
- Образцы решения заданий по теме "Уравнения и неравенства смешанного типа"
- Образцы решения заданий по теме "Алгебраические неравенства"
- Образцы решения заданий по теме "Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств"
- Образцы решения заданий по теме "Тригонометрические уравнения"
- Образцы решения заданий по теме "Логарифмические уравнения"
- Образцы решения заданий по теме "Показательные уравнения"
- Образцы решения заданий по теме "Алгебраические уравнения"
- Уравнения: общий теоретический справочник
- Системы нелинейных уравнений: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
- Обобщенный метод интервалов решения неравенств: неравенства первого типа
- Обобщенный метод интервалов решения неравенств: неравенства второго типа
- Примеры решений неравенств обобщенным методом интервалов
- Обобщенный метод интервалов решения неравенств: неравенства третьего типа
- Решение иррациональных неравенств: методы, приемы, равносильные переходы
- Решение иррациональных уравнений: методы, приемы, равносильные переходы
- Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма: методы, приемы, равносильные переходы
- Преобразование степеней: примеры и достаточные знания свойств, необходимые для решения заданий
- Преобразование дробно-иррациональных выражений: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
- Преобразование логарифмических выражений: примеры и достаточные знания свойств, необходимые для решения заданий
- Решение показательных уравнений: теоретический справочник
- Решение логарифмических уравнений: теоретический справочник
- Показательные уравнения: примеры и достаточные знания свойств, необходимые для решения заданий
- Логарифмические уравнения: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
Источник: uztest.ru