Производные функции формулы


Как найти?

Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования:

  1. Вынос константы за знак производной: $$ (Cu)’ = C(u)’ $$
  2. Производная суммы/разности функций: $$ (u pm v)’ = (u)’ pm (v)’ $$
  3. Производная произведения двух функций: $$ (u cdot v)’ = u’v + uv’ $$
  4. Производная дроби: $$ bigg (frac{u}{v} bigg )’ = frac{u’v — uv’}{v^2} $$
  5. Производная сложной функции: $$ ( f(g(x)) )’ = f'(g(x)) cdot g'(x) $$

Примеры решения

Пример 1
Найти производную функции $ y = x^3 — 2x^2 + 7x — 1 $
Решение

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных:

$$ y’ = (x^3 — 2x^2 + 7x — 1)’ = (x^3)’ — (2x^2)’ + (7x)’ — (1)’ = $$


Используя правило производной степенной функции $ (x^p)’ = px^{p-1} $ имеем:

$$ y’ = 3x^{3-1} — 2 cdot 2 x^{2-1} + 7 — 0 = 3x^2 — 4x + 7 $$

Так же было учтено, что производная от константы равна нулю.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ y’ = 3x^2 — 4x + 7 $$
Пример 2
Найти производную функции $ y = sin x — ln 3x $
Решение

По правилу производной разности:

$$ y’ = (sin x — ln 3x)’ = (sin x)’ — (ln 3x)’ = $$

По таблице интегрирования находим:

$$ (sin x)’ = cos x $$ $$ (ln x)’ = frac{1}{x} $$

С учетом того, что аргумент натурального логарифма отличен от $ x $, то нужно домножить ещё на производную самого аргумента:

$$ y’ = (sin x)’ — (ln 3x)’ = cos x — frac{1}{3x} cdot (3x)’ = $$

После упрощения получаем:

$$ = cos x — frac{1}{3x} cdot 3 = cos x — frac{1}{x} $$

Ответ
$$ y’ = cos x — frac{1}{x} $$

Пример 3
Найти производную функции $ y = (3x-1) cdot 5^x $
Решение

В данном примере стоит произведение двух функций, а производная произведения находится по формуле номер 3: $$ (u cdot v)’ = u’v + uv’ $$

$$ y’ = ( (3x-1) cdot 5^x )’ = (3x-1)’ 5^x + (3x-1) (5^x)’ = $$

Производная первой функции вычисляется как разность фунций:

$$ (3x-1)’ = (3x)’ — (1)’ = 3(x)’ — (1)’ = 3 $$

Вторая функция является показательной, производная которой находится по формуле: $ (a^x)’ = a^x ln a $: $$ (5^x)’ = 5^x ln 5 $$

Продолжаем решение с учетом найденных производных:

$$ y’ = (3x-1)’ 5^x + (3x-1) (5^x)’ = 3 cdot 5^x + (3x-1) 5^x ln 5 $$

Ответ
$$ y’ = 3cdot 5^x + (3x-1) 5^x ln 5 $$
Пример 4
Найти производную функции $ y = frac{ln x}{sqrt{x}} $
Решение

Производную дроби найдем по четвертой формуле. Положим $ u = ln x $ и $ v = sqrt{x} $. Тогда их производные по таблице основных элементарных функций равны:

$$ u’ = (ln x)’ = frac{1}{x} $$ $$ v’ = (sqrt{x})’ = frac{1}{2sqrt{x}} $$

Используя формулу №4 получаем:

$$ y’ = bigg ( frac{ln x}{sqrt{x}} bigg )’ = frac{ frac{1}{x} cdot sqrt{x} — ln x cdot frac{1}{2sqrt{x}} }{x} = $$

Выносим множитель $ frac{1}{2sqrt{x}} $ в числителе за скобку:

$$ y’ = frac{2-ln x}{2xsqrt{x}} $$

Ответ
$$ y’ = frac{2-ln x}{2xsqrt{x}} $$

Пример 5
Найти производную функции $ y = ln sin 3x $
Решение

Данная функция является сложной, потому производную будем брать по цепочке. Сначала от внешней функции, затем от внутренней. При этом выполняя их перемножение.

$$ y’ = (ln sin 3x )’ = frac{1}{sin 3x} cdot (sin 3x)’ = $$

Заметим, что аргумент синуса отличен от $ x $, поэтому тоже является сложной функцией:

$$ = frac{1}{sin 3x} cdot cos 3x cdot (3x)’ = frac{1}{sin 3x} cdot cos 3x cdot 3 $$

Учитывая определение котангенса $ ctg x = frac{cos 3x}{sin 3x} $ перепишем полученную производную в удобном компактном виде:

$$ y’ = 3ctg 3x $$

Ответ
$$ y’ = 3ctg 3x $$

Источник: xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Синтаксис описания формул


В описании функции допускается использование одной переменной (обозначается как x), скобок, числа пи (pi), экспоненты (e), математических операций: + — сложение, — вычитание, * — умножение, / — деление, ^ — возведение в степень.
Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec— экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), logP — логарифм по основанию P, например log7(x) — логарифм по основанию 7, rootP — корень степени P, например root3(x) — кубический корень.


Вычисление производной

Вычисление производной — дело нехитрое, достаточно знать несколько простых правил и формулы дифференцирования простых функций; сложнее в этом онлайн калькуляторе было сделать интерпретатор математических выражений и алгоритм упрощения полученного результата, но об этом как-нибудь в другой раз…

Правила дифференцирования

1) производная суммы:
(u+v+...+w)'=u'+v'+...+w'
2) производная произведения:
(uv)'=u'v+v'u
3) производная частного:
(frac{u}{v})'=frac{u'v-v'u}{v^2}
4) производная сложной функции равна произведению производных:
y=f(u), u=phi(x), y'=f'(u)phi'(x)


Источник: planetcalc.ru

Что такое производная функция — это основное математическое понятие, находится на одном уровне с интегралами, при анализе. Данная функция в определенной точке дает характеристику скорости изменений функции в данной точке.
Такие понятия как дифференцирование и интегрирование, первое расшифровывается как действие поиска производной, второе наоборот, восстанавливает функцию отталкиваясь от данной производной.
Вычислениям производной отводится важная часть в дифференциальных расчетах.
Для наглядного примера, изобразим производную на координатной плоскости.

производная

в функции у=f(х) фиксируем точки М в которой (х0; f(X0)) и N f (x0+?x) к каждой абсциссе есть приращение в виде ?x. Приращением называется процесс когда изменяется абсцисса, тогда меняется и ордината. Обозначается как ?у.
Найдем тангенс угла в треугольнике MPN используя для этого точки М и N.

tg? = NP/MP = ?у/?x.

При ?x идущем к 0. Пересекающая МN все ближе к касательной МТ и угол ? будет ?. Следовательно, tg ? максимальное значение для tg ?.

tg ? = lim от ?x-0 tg ? = lim от ?x-0 ?у/?x

Таблица производных

таблица производных


Если проговаривать формулировку каждой формулы производных. Таблица будет проще запоминаться.
1) Производная от постоянного значения равняется 0.
2) Х со штрихом равняется единице.
3) Если есть постоянный множитель, просто выносим ео за производную.
4) Чтобы найти производную степень, нужно показатель данной степени умножить на степень с таким же основанием, у которого показатель на 1 меньше.
5) Поиск корня равен одному, деленному 2 этих корня.
6) Производная одного, деленного на Х равняется одному разделенному на Х возведенный в квадрат, со знаком минус.
7) П синус равняется косинусу
8) П косинус равняется синусу со знаком минус.
9) П тангенс равняется одному, деленному на косинус в квадрате.
10) П котангенс равняется одному со знаком минус, деленная на синус в квадрате.

В дифференцировании также существуют правила, которые тоже проще выучить проговаривая их в слух.

таблица дифференцирования

1) Очень просто, п. слагаемых равняется их сумме.
2) Производная в умножении равняется умножению первого значения на второе, прибавляя к себе умножение второго значения на первое.
3) Производная в делении равняется умножению первого значения на второе, отнимая от себя умножение второго значения на первое. Дробь деления на второе значение в квадрате.
4) Формулировка является частным случаем третьей формулы.

Источник: reshit.ru


  • Квадратное уравнение
  • Теорема Виета
  • Биквадратные уравнения
  • Симметрические, возвратные и однородные уравнения
  • Алгебраические уравнения
  • Решение квадратного уравнения
  • Решение квадратного неравенства
  • Квадратичные неравенства
  • Метод интервалов для решения рациональных неравенств
  • Решение рациональных неравенств методом интервалов
  • Метод интервалов для решения дробно-рациональных неравенств
  • Модуль уравнения и неравенства
  • Равносильные замены неравенств, содержащих переменную величину под знаком модуля
  • Уравнения, содержащие выражение с переменной под знаком модуль
  • Уравнения с модулем: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
  • Решение уравнений, содержащих знак модуля: методы, приемы, равносильные переходы
  • Решение неравенств, содержащих знак модуля: методы, приемы, равносильные переходы
  • Равносильные неравенства, содержащие переменную величину или выражение под знаком модуля
  • Решение неравенств, содержащих выражение под знаком модуль

  • Неравенства с модулем: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
  • Степень с целым показателем
  • Все формулы по теме «Степень»
  • Степень с произвольным показателем
  • Арифметический корень
  • Свойства арифметического корня
  • Все формулы по теме «Арифметический квадратный корень»
  • Корень n-ной степени
  • Все формулы по теме «Радикал» (корень n-ой степени)
  • Формулы действий с корнями для четной степени
  • Формулы действий с корнями для нечетной степени
  • Иррациональные выражения
  • Иррациональные уравнения
  • Схемы равносильных преобразований выражений, содержащие квадратные корни
  • Решение простейших иррациональных неравенств
  • Иррациональные уравнения
  • Иррациональные уравнения: примеры и достаточные знания свойств, необходимые для решения заданий
  • Равносильность иррациональных неравенств: теоретический справочник
  • Свойства иррациональных неравенств
  • Иррациональные неравенства: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
  • Понятие логарифма
  • Свойства логарифмов
  • Все формулы по теме «Логарифм»

  • Логарифм: теоретический справочник
  • Показательные и логарифмические неравенства
  • Область допустимых значений (ОДЗ)
  • Системы и совокупности уравнений
  • Общие методы преобразований уравнений
  • Неравенства с переменной
  • Основные свойства равносильности неравенств
  • Системы и совокупности неравенств
  • Метод замены множителей
  • Метод замены функций для решениия неравенств
  • Схемы замен функций в решении неравенств
  • Примеры замен функций в решении неравенств
  • Решение показательных неравенств
  • Решение логарифмических неравенств
  • Схемы равносильных преобразований логарифмических неравенств
  • Логарифмические неравенства, содержащие переменную в основании, в схемах
  • Схема Горнера
  • Решение неравенств с кратными корнями методом интервалов
  • Показательные и логарифмические неравенства: тереотический справочник
  • Показательные неравенства: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
  • Логарифмические неравенства: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
  • Уравнения и неравенства смешанного типа: теоретический справочник
  • Системы линейных уравнений с двумя переменными
  • Системы нелинейных уравнений с двумя переменными: теоретический справочник
  • Образцы решения заданий по теме "Системы линейных уравнений"
  • Образцы решения заданий по теме "Уравнения и неравенства смешанного типа"
  • Образцы решения заданий по теме "Алгебраические неравенства"
  • Образцы решения заданий по теме "Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств"
  • Образцы решения заданий по теме "Тригонометрические уравнения"
  • Образцы решения заданий по теме "Логарифмические уравнения"
  • Образцы решения заданий по теме "Показательные уравнения"
  • Образцы решения заданий по теме "Алгебраические уравнения"
  • Уравнения: общий теоретический справочник
  • Системы нелинейных уравнений: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
  • Обобщенный метод интервалов решения неравенств: неравенства первого типа
  • Обобщенный метод интервалов решения неравенств: неравенства второго типа
  • Примеры решений неравенств обобщенным методом интервалов
  • Обобщенный метод интервалов решения неравенств: неравенства третьего типа
  • Решение иррациональных неравенств: методы, приемы, равносильные переходы
  • Решение иррациональных уравнений: методы, приемы, равносильные переходы
  • Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма: методы, приемы, равносильные переходы
  • Преобразование степеней: примеры и достаточные знания свойств, необходимые для решения заданий
  • Преобразование дробно-иррациональных выражений: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
  • Преобразование логарифмических выражений: примеры и достаточные знания свойств, необходимые для решения заданий
  • Решение показательных уравнений: теоретический справочник
  • Решение логарифмических уравнений: теоретический справочник
  • Показательные уравнения: примеры и достаточные знания свойств, необходимые для решения заданий
  • Логарифмические уравнения: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий

Источник: uztest.ru


Leave a Comment

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.